Calcolo Esempi

$x = 10 (\sqrt{1 + t^{4}} - 1)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + t^{4}}$ come ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1))$

Passaggio 3

La derivata di $x$ rispetto a $t$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia.

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Passaggio 4.1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$ rispetto a $t$ è $10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$10 (\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + t^{4}$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.12.1

$4$ e $\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$10 (\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.12.2

$\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t^{3}$ .

$10 (\frac{4 t^{3}}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.12.3

Scomponi $2$ da $4 t^{3}$ .

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 4.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 4.15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.15.1

Somma $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$10 \frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.15.2

$10$ e $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.15.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.15.3.1

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.15.3.2

Riordina i termini.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$