Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = e^{- x} + 1$ e $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.7

Somma $e^{- x} (- x')$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Sposta $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.8.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.9

Semplifica $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.10.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1.1

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.1.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.2

Semplifica $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.3

Riscrivi $- 1 x'$ come $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.1.5

Riscrivi $- 1 (e^{x} x')$ come $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.3.2

Sottrai $x'$ da $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.5

Scomponi $x'$ da $- e^{x} x' - 2 x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1

Scomponi $x'$ da $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.5.2

Scomponi $x'$ da $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.5.3

Scomponi $x'$ da $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.6

Scomponi $- 1$ da $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.7

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.8

Scomponi $- 1$ da $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.9

Riscrivi $- (e^{x} + 2)$ come $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.12.11

Riordina i fattori in $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Dividi $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ per $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riordina i fattori in $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Passaggio 5.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Passaggio 5.4.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $x'$ da $x' e^{x} + 2 x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Scomponi $x'$ da $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Passaggio 5.5.1.2

Scomponi $x'$ da $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Passaggio 5.5.1.3

Scomponi $x'$ da $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $e^{x} + 2$ ciascun termine in $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $e^{x} + 2$ ciascun termine in $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$