Calcolo Esempi

$y = \sqrt{2 x + 3}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$

Passaggio 2

Riscrivi ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ come $2 x + 3$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 3}$ come ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = 2 x + 3$

Passaggio 2.5

Semplifica.

$V = 2 x + 3$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$V = π (2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{1})$

Passaggio 8.2

Calcola $3 x$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

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Passaggio 8.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.5

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.6

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$V = π (1 + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$V = π (1 + 3 - 3 \cdot 0)$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$V = π (1 + 3 + 0)$

Passaggio 8.3.10

Somma $3$ e $0$ .

$V = π (1 + 3)$

Passaggio 8.3.11

Somma $1$ e $3$ .

$V = π \cdot 4$

Passaggio 8.3.12

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$V = 4 π$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = 4 π$

Forma decimale:

$V = 12.56637061 \dots$

Passaggio 10