Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 1.1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.4.2.1

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 1.1.4.2.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Passaggio 1.1.4.2.3

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Passaggio 1.1.4.3

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.1.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Passaggio 1.1.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 1.1.4.7

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 1.1.4.8

Applica l'identità pitagorica.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 1.1.4.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.4.9.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.4.9.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.1.4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.4.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.4.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.4.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\sin^{3} (x)$ per $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\sin (x) = 0$

Passaggio 2.5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 2.8

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 2.9

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.9.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.11

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $π n$ .

$π n$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π n - 1$ nell'espressione.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Passaggio 5.4

In corrispondenza di $x = π n - 1$ la derivata è $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π n + 1$ nell'espressione.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = π n + 1$ la derivata è $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(π n, \infty)$ .

Decrescente su $(π n, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Passaggio 8