Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x e^{x}$ da $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x e^{x}$ da $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x e^{x}$ da $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{x} (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 2$ .

$0, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Passaggio 5.2.1.3

$9$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Passaggio 5.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 5.2.1.6

$- 6$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Passaggio 5.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $6$ da $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $\frac{3}{e^{3}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $e^{- 1}$ per $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 6.2.1.6

$- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Passaggio 6.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{1}{e}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, 0)$ .

Decrescente su $(- 2, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $e^{1}$ per $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Passaggio 7.2.1.3

Semplifica.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Passaggio 7.2.2

Somma $e$ e $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $3 e$ .

$3 e$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $3 e$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, 0)$

Passaggio 9