Calcolo Esempi

$f (x) = x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.1.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 + \ln (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) = - 1$

Passaggio 2.3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\ln (x) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Passaggio 2.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 4.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Passaggio 6

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e})$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{1}{e})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.18393972$ nell'espressione.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$- 0.69314715$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $x = 0.18393972$ la derivata è $- 0.69314715$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{1}{e})$ .

Decrescente su $(0, \frac{1}{e})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{e}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.36787945$ nell'espressione.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Passaggio 9.2

La risposta finale è $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Passaggio 9.3

Semplifica.

$1.31326169$

Passaggio 9.4

In corrispondenza di $x = 1.36787945$ la derivata è $1.31326169$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{e}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Decrescente su: $(0, \frac{1}{e})$

Passaggio 11