Calcolo Esempi

$y = 6 x^{2} - 18 x$ , $y = - 6 x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$6 x^{2} - 18 x = - 6 x$

Passaggio 1.2

Risolvi $6 x^{2} - 18 x = - 6 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Somma $6 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} - 18 x + 6 x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $- 18 x$ e $6 x$ .

$6 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2}$ .

$6 x (x) - 12 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $6 x$ da $- 12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (- 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (x) + 6 x (- 2)$ .

$6 x (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = - 6 x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = - 6 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ a $x$ in $y = - 6 \cdot 0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 6 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = - 6 \cdot 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $2$ a $x$ in $y = - 6 \cdot 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 6 \cdot 2$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$y = - 12$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(2, - 12)$

$(0, 0)$

$(2, - 12)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} - 6 x d x - \int_{0}^{2} 6 x^{2} - 18 x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} - 6 x - (6 x^{2} - 18 x) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 x - (6 x^{2}) - (- 18 x)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 x - 6 x^{2} - (- 18 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 18$ per $- 1$ .

$- 6 x - 6 x^{2} + 18 x$

$\int_{0}^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 18 x d x$

Passaggio 3.3

Somma $- 6 x$ e $18 x$ .

$\int_{0}^{2} - 6 x^{2} + 12 x d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} - 6 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 12 x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$- 6 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 12 x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x d x$

Passaggio 3.8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$- 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$- 6 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$- 6 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 6 (\frac{8}{3} - 0) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 6 (\frac{8}{3} + 0) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.5

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$- 6 (\frac{8}{3}) + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6

$- 6$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 8}{3} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Moltiplica $- 6$ per $8$ .

$\frac{- 48}{3} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.8.1

Scomponi $3$ da $- 48$ .

$\frac{3 \cdot - 16}{3} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.8.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (1)} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 16}{1} + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8.2.4

Dividi $- 16$ per $1$ .

$- 16 + 12 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 16 + 12 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 16 + 12 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 16 + 12 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 16 + 12 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 16 + 12 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 16 + 12 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 16 + 12 (2 - \frac{0}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.12.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 16 + 12 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 16 + 12 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 16 + 12 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 16 + 12 (2 - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 16 + 12 (2 - 0)$

Passaggio 3.10.2.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 16 + 12 (2 + 0)$

Passaggio 3.10.2.3.14

Somma $2$ e $0$ .

$- 16 + 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.2.3.15

Moltiplica $12$ per $2$ .

$- 16 + 24$

Passaggio 3.10.2.3.16

Somma $- 16$ e $24$ .

$8$

Passaggio 4