Calcolo Esempi

$f (x) = x \ln (x)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.1.1.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.2.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5