Calcolo Esempi

$\ln (x^{4} + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{4} + 1)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 1} \cdot x^{3}$

Passaggio 2.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 1}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 1})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 1) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.5

$4$ e $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (1 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.4.2

Sottrai $16 x^{6}$ da $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 4 x^{6} + 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.5.1

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 4 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.5.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.9

Riscrivi $- (x^{4} - 3)$ come $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3.2.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x^{4} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x^{4} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $x^{4} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} = 3$

Passaggio 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt[4]{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Passaggio 4.1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt[4]{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(\sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Passaggio 4.3.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Passaggio 4.3.2.1.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Passaggio 4.3.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ è $(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- \sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt[4]{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- \sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt[4]{3}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- 1)}^{4} {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (1 {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ per $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Passaggio 4.5.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ è $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\sqrt[4]{3}, \ln (4)), (- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt[4]{3}) \cup (- \sqrt[4]{3}, 0) \cup (0, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.41607401$ nell'espressione.

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{(4 {(- 1.41607401)}^{2}) ({(- 1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.41607401$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} (4.02109016 - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $3$ da $4.02109016$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} \cdot 1.02109016}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Moltiplica $1.02109016$ per $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4.08436066 {(- 1.41607401)}^{2}}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Moltiplica $4.08436066$ per ${(- 1.41607401)}^{2}$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.41607401$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4.02109016$ e $1$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $5.02109016$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $8.19022798$ per $25.21134646$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.32486277$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 0.32486277$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Passaggio 6.3

Per $- 1.41607401$ , la derivata seconda è $- 0.32486277$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.658037$ nell'espressione.

$f'' (- 0.658037) = - \frac{(4 {(- 0.658037)}^{2}) ({(- 0.658037)}^{4} - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.658037$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} (0.1875 - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $3$ da $0.1875$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} \cdot - 2.8125}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Moltiplica $- 2.8125$ per $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 11.25 {(- 0.658037)}^{2}}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3.2

Moltiplica $- 11.25$ per ${(- 0.658037)}^{2}$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 0.658037$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.1875$ e $1$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.1875$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $- 4.87139289$ per $1.41015625$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3.45450576$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $3.45450576$ .

$3.45450576$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.658037$ , la derivata seconda è $3.45450576$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ .

Crescente su $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt[4]{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.658037$ nell'espressione.

$f'' (0.658037) = - \frac{(4 {(0.658037)}^{2}) ({(0.658037)}^{4} - 3)}{{({(0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.658037$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot ({0.658037}^{2} (0.1875 - 3))}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $3$ da $0.1875$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot {0.658037}^{2} \cdot - 2.8125}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Moltiplica $- 2.8125$ per $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 11.25 \cdot {0.658037}^{2}}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3.2

Moltiplica $- 11.25$ per ${0.658037}^{2}$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $0.658037$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0.1875$ e $1$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $1.1875$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $- 4.87139289$ per $1.41015625$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3.45450576$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $3.45450576$ .

$3.45450576$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.658037$ , la derivata seconda è $3.45450576$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \sqrt[4]{3})$ .

Crescente su $(0, \sqrt[4]{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.41607401$ nell'espressione.

$f'' (1.41607401) = - \frac{(4 {(1.41607401)}^{2}) ({(1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $1.41607401$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot ({1.41607401}^{2} (4.02109016 - 3))}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Sottrai $3$ da $4.02109016$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot {1.41607401}^{2} \cdot 1.02109016}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.1

Moltiplica $1.02109016$ per $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4.08436066 \cdot {1.41607401}^{2}}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3.2

Moltiplica $4.08436066$ per ${1.41607401}^{2}$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $1.41607401$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $4.02109016$ e $1$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $5.02109016$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $8.19022798$ per $25.21134646$ .

$f'' (1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.32486277$ .

$f'' (1.41607401) = - 0.32486277$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Passaggio 9.3

Per $1.41607401$ , la derivata seconda è $- 0.32486277$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ .

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Passaggio 11