Calcolo Esempi

$2 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $2 x {(x - 2)}^{3}$ come funzione.

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.1.4.6

Moltiplica ${(x - 2)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Passaggio 2.1.5.3.2

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 2.1.5.3.3

Scomponi $2 {(x - 2)}^{2}$ da $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Passaggio 2.1.5.4

Somma $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.5

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.7.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.9.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Passaggio 2.1.5.10

Espandi $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.11.6.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.7

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.8

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.9

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.1.5.11.10

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 2.1.5.12

Sottrai $32 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Passaggio 2.1.5.13

Somma $16 x$ e $32 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4$ da $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 48 x - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $4$ da $48 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 3.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.5

Moltiplica $- 9$ per $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.6

Sottrai $2.25$ da $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.7

Moltiplica $12$ per $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.8

Somma $- 2$ e $6$ .

$4 - 4$

Passaggio 3.2.2.3.9

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 3.2.2.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Passaggio 3.2.2.5

Dividi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 3.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Passaggio 3.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Passaggio 3.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 3.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 3.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 3.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 3.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Passaggio 3.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 3.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 3.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Passaggio 3.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Passaggio 3.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 3.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 3.2.2.6

Scrivi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ come insieme di fattori.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 3.2.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 3.2.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{2}, 2$ .

$\frac{1}{2}, 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{3} - 36 {(- 0.5)}^{2} + 48 (- 0.5) - 16$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.125 - 36 {(- 0.5)}^{2} + 48 (- 0.5) - 16$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 0.125$ .

$f' (- 0.5) = - 1 - 36 {(- 0.5)}^{2} + 48 (- 0.5) - 16$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.5) = - 1 - 36 \cdot 0.25 + 48 (- 0.5) - 16$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 1 - 9 + 48 (- 0.5) - 16$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $48$ per $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 1 - 9 - 24 - 16$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$f' (- 0.5) = - 10 - 24 - 16$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 10$ .

$f' (- 0.5) = - 34 - 16$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $16$ da $- 34$ .

$f' (- 0.5) = - 50$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 50$ .

$- 50$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 0.5$ la derivata è $- 50$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{1}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.5, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.25$ nell'espressione.

$f' (1.25) = 8 {(1.25)}^{3} - 36 {(1.25)}^{2} + 48 (1.25) - 16$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.25$ alla potenza di $3$ .

$f' (1.25) = 8 \cdot 1.953125 - 36 {(1.25)}^{2} + 48 (1.25) - 16$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $8$ per $1.953125$ .

$f' (1.25) = 15.625 - 36 {(1.25)}^{2} + 48 (1.25) - 16$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $1.25$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.25) = 15.625 - 36 \cdot 1.5625 + 48 (1.25) - 16$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $1.5625$ .

$f' (1.25) = 15.625 - 56.25 + 48 (1.25) - 16$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $48$ per $1.25$ .

$f' (1.25) = 15.625 - 56.25 + 60 - 16$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $56.25$ da $15.625$ .

$f' (1.25) = - 40.625 + 60 - 16$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 40.625$ e $60$ .

$f' (1.25) = 19.375 - 16$

Passaggio 7.2.2.3

Sottrai $16$ da $19.375$ .

$f' (1.25) = 3.375$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $3.375$ .

$3.375$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1.25$ la derivata è $3.375$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0.5, 2)$ .

Crescente su $(\frac{1}{2}, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 8 {(3)}^{3} - 36 {(3)}^{2} + 48 (3) - 16$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 8 \cdot 27 - 36 {(3)}^{2} + 48 (3) - 16$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $8$ per $27$ .

$f' (3) = 216 - 36 {(3)}^{2} + 48 (3) - 16$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 9 + 48 (3) - 16$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $9$ .

$f' (3) = 216 - 324 + 48 (3) - 16$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $48$ per $3$ .

$f' (3) = 216 - 324 + 144 - 16$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $324$ da $216$ .

$f' (3) = - 108 + 144 - 16$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 108$ e $144$ .

$f' (3) = 36 - 16$

Passaggio 8.2.2.3

Sottrai $16$ da $36$ .

$f' (3) = 20$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $20$ .

$20$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $20$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{1}{2}, 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{1}{2})$

Passaggio 10