Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{12} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 \cdot 4 + 15$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Passaggio 3.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Passaggio 3.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Passaggio 3.1.2.2.4

Scrivi $15$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{15}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{15}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $15$ per $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Sottrai $24$ da $4$ .

$f (2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 20$ e $45$ .

$f (2) = \frac{25}{3}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ è $(2, \frac{25}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, \frac{25}{3})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + (- 2) {(- 2)}^{2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{3} + 15$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Passaggio 3.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Passaggio 3.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Passaggio 3.3.2.2.4

Scrivi $15$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{15}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{15}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $15$ per $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sottrai $24$ da $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 20$ e $45$ .

$f (- 2) = \frac{25}{3}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ è $(- 2, \frac{25}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, \frac{25}{3})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2, \frac{25}{3}), (- 2, \frac{25}{3})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = {(- 2.1)}^{2} - 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 4.41 - 4$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4$ da $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 0.41$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.41$ .

$0.41$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $0.41$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = {(2.1)}^{2} - 4$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 4.41 - 4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4$ da $4.41$ .

$f'' (2.1) = 0.41$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.41$ .

$0.41$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $0.41$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$ .

$(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$

Passaggio 9