Calcolo Esempi

$f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} - 10 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 \frac{d}{d x} x^{4}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 40 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{5} - 40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 40$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $30 x^{4} - 120 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$30 {(x^{2})}^{2} - 120 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$30 u^{2} - 120 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $30 u$ da $30 u^{2} - 120 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $30 u$ da $30 u^{2}$ .

$30 u (u) - 120 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $30 u$ da $- 120 u$ .

$30 u (u) + 30 u (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $30 u$ da $30 u (u) + 30 u (- 4)$ .

$30 u (u - 4) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{6} - 10 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $2$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{6} - 10 {(2)}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f (2) = 64 - 10 {(2)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 64 - 10 \cdot 16$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $16$ .

$f (2) = 64 - 160$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $160$ da $64$ .

$f (2) = - 96$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 96$ .

$- 96$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ è $(2, - 96)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - 96)$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{6} - 10 {(- 2)}^{4}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$f (- 2) = 64 - 10 {(- 2)}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = 64 - 10 \cdot 16$

Passaggio 3.5.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $16$ .

$f (- 2) = 64 - 160$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $160$ da $64$ .

$f (- 2) = - 96$

Passaggio 3.5.2.3

La risposta finale è $- 96$ .

$- 96$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ è $(- 2, - 96)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, - 96)$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (2, - 96), (- 2, - 96)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = 30 {(- 2.1)}^{4} - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $30$ per $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 529.2$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $529.2$ da $583.443$ .

$f'' (- 2.1) = 54.243$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $54.243$ .

$54.243$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $54.243$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1) = 30 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $30$ per $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $120$ da $30$ .

$f'' (- 1) = - 90$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 90$ .

$- 90$

Passaggio 6.3

Per $- 1$ , la derivata seconda è $- 90$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, 0)$ .

Decrescente su $(- 2, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = 30 {(1)}^{4} - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 30 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $30$ per $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 30 - 120 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $120$ da $30$ .

$f'' (1) = - 90$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 90$ .

$- 90$

Passaggio 7.3

Per $1$ , la derivata seconda è $- 90$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 30 {(2.1)}^{4} - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $30$ per $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 529.2$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $529.2$ da $583.443$ .

$f'' (2.1) = 54.243$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $54.243$ .

$54.243$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $54.243$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 96), (2, - 96)$ .

$(- 2, - 96), (2, - 96)$

Passaggio 10