Calcolo Esempi

$\frac{e^{7 t} + e^{- 7 t}}{e^{5 t}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = e^{7 t} + e^{- 7 t}$ e $g (t) = e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} \frac{d}{d t} [e^{7 t} + e^{- 7 t}] - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{{(e^{5 t})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{5 t})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{5 t} \frac{d}{d t} [e^{7 t} + e^{- 7 t}] - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{5 t \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{e^{5 t} \frac{d}{d t} [e^{7 t} + e^{- 7 t}] - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{7 t} + e^{- 7 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$\frac{e^{5 t} (\frac{d}{d t} [e^{7 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 7 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 t$ .

$\frac{e^{5 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{5 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 t$ .

$\frac{e^{5 t} (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{5 t} (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{5 t} (e^{7 t} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{e^{5 t} (e^{7 t} \cdot 7 + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{7 t}$ .

$\frac{e^{5 t} (7 \cdot e^{7 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 7 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 7 t$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 7 t$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t]) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7 t$ rispetto a $t$ è $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1)) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} + e^{- 7 t} \cdot - 7) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 6.3.2

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{- 7 t}$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 \cdot e^{- 7 t}) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]}{e^{10 t}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 t$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t])}{e^{10 t}}$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t])}{e^{10 t}}$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 t$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])}{e^{10 t}}$

Passaggio 8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{10 t}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - 5 (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (e^{5 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{10 t}}$

Passaggio 8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - 5 (e^{7 t} + e^{- 7 t}) (e^{5 t} \cdot 1)}{e^{10 t}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica $e^{5 t}$ per $1$ .

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t} - 7 e^{- 7 t}) - 5 (e^{7 t} + e^{- 7 t}) e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t}) + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 (e^{7 t} + e^{- 7 t}) e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t}) + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) + (- 5 e^{7 t} - 5 e^{- 7 t}) e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{5 t} (7 e^{7 t}) + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{7 e^{5 t} e^{7 t} + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.2

Moltiplica $e^{5 t}$ per $e^{7 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.2.1

Sposta $e^{7 t}$ .

$\frac{7 (e^{7 t} e^{5 t}) + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 e^{7 t + 5 t} + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.2.3

Somma $7 t$ e $5 t$ .

$\frac{7 e^{12 t} + e^{5 t} (- 7 e^{- 7 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{5 t} e^{- 7 t} - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.4

Moltiplica $e^{5 t}$ per $e^{- 7 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.4.1

Sposta $e^{- 7 t}$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 (e^{- 7 t} e^{5 t}) - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 7 t + 5 t} - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.4.3

Somma $- 7 t$ e $5 t$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{7 t} e^{5 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.5

Moltiplica $e^{7 t}$ per $e^{5 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.5.1

Sposta $e^{5 t}$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 (e^{5 t} e^{7 t}) - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{5 t + 7 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.5.3

Somma $5 t$ e $7 t$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{12 t} - 5 e^{- 7 t} e^{5 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.6

Moltiplica $e^{- 7 t}$ per $e^{5 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.6.1

Sposta $e^{5 t}$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{12 t} - 5 (e^{5 t} e^{- 7 t})}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{12 t} - 5 e^{5 t - 7 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.1.6.3

Sottrai $7 t$ da $5 t$ .

$\frac{7 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{12 t} - 5 e^{- 2 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai $5 e^{12 t}$ da $7 e^{12 t}$ .

$\frac{2 e^{12 t} - 7 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.4.3

Sottrai $5 e^{- 2 t}$ da $- 7 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{12 t} - 12 e^{- 2 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.5

Scomponi $2$ da $2 e^{12 t} - 12 e^{- 2 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scomponi $2$ da $2 e^{12 t}$ .

$\frac{2 (e^{12 t}) - 12 e^{- 2 t}}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $2$ da $- 12 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{12 t}) + 2 (- 6 e^{- 2 t})}{e^{10 t}}$

Passaggio 9.5.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{12 t}) + 2 (- 6 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{12 t} - 6 e^{- 2 t})}{e^{10 t}}$