Calcolo Esempi

$x \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{4 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.23

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.24

Per scrivere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.26

Moltiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27

Semplifica ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ e $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.4.6

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.10.3

Sposta ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.15

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.16.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.16.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.17.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.20

Moltiplica $- 2 x^{2} + 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.2

Moltiplica $- 2 x^{2} + 4$ per $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.3

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.4

Per scrivere $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7

Riscrivi $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.7.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.7.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.1.2

Scomponi $2 x$ da $2 (- x^{2} + 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1.1

Sposta ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.7.2.2

Semplifica $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.8.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.8.4

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.1.8.5

Somma $- 8$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

Passaggio 2.1.2.21.2.2

Moltiplica $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Passaggio 2.1.2.21.2.3

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 4$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.2.3.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 4$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Passaggio 2.1.2.21.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.1.2.21.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.21.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.21.2.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.2.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 6$

Passaggio 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} - 6) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 4$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 2 |$

Passaggio 3.2.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | \leq 2$

Passaggio 3.2.5

Scrivi $| x | \leq 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 3.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 2$

Passaggio 3.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 3.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 2$

Passaggio 3.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 3.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq 2$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Passaggio 3.2.7

Risolvi $- x \leq 2$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 3.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 3.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 3.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$x \geq - 2$

Passaggio 3.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 2$ e $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Passaggio 3.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[- 2, 0) \cup (0, 2]$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $[- 2, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 6)}{{(- {(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{(- {(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{((- 1) {(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{3} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{(- 1 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 6)}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.3.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 5}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$f'' (- 1) = \frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $[- 2, 0)$ perché $f'' (- 1)$ è positivo.

Funzione convessa su $[- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 2]$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 6)}{{(- {(1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{{(- 1^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 1 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{{(- 1 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 6)}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.3.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 5}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f'' (1) = \frac{- 10}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (1) = - \frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{10}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, 2]$ perché $f'' (1)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, 2]$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $[- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(0, 2]$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8