Calcolo Esempi

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.11

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 3)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.11.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Passaggio 2.1.12

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.1.12.1

Applica la regola del prodotto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.12.2

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.14

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Passaggio 2.1.19

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Passaggio 2.1.20

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Passaggio 2.1.21

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.1.21.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Passaggio 2.1.21.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.1.22

Estrai i termini dal radicale.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.23

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $9$ da $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 3 i \sqrt{3}$ e $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 8$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

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Passaggio 6.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{- 8}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = π$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$