Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3.3.3

Riscrivi $- 1 (x^{2} - 3)$ come $- (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Passaggio 1.1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 1.1.3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.3.7

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Passaggio 1.1.4.5

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $3 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $- x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- x - 1$ uguale a $0$ .

$- x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x = - 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 1, 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $4 e^{2}$ da $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 8 e^{2}$ e $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- 5 e^{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi $- 1 \frac{1}{e}$ come $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.9

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Passaggio 6.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Passaggio 6.2.1.12

$3$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{4}{e}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 3)$ .

Crescente su $(- 1, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.5

$- 16$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.10

$8$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Passaggio 7.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Passaggio 7.2.1.13

$3$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Passaggio 7.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Somma $- 16$ e $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Somma $- 8$ e $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Passaggio 7.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $- \frac{5}{e^{4}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, \infty)$ .

Decrescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 3)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Passaggio 9