Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 5 x$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Moltiplica $x^{2} + 5 x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Espandi $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2.2

Somma $50 x + 125 - 5 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.3

Somma $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Scomponi $5$ da $50 x$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.3

Scomponi $5$ da $125$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.4

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.1.5

Scomponi $5$ da $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.1.3.5.2.3

Riscrivi il polinomio.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.5.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.6.4

Applica la regola del prodotto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ e ${(5 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $5 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(5 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $5 - x$ uguale a $0$ .

$5 - x = 0$

Passaggio 5.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 5$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x = 5$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ .

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (4) = 5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $5$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 5)$ .

Crescente su $(- \infty, 5)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $6$ da $5$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = \frac{5}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (6) = 5$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 6$ la derivata è $5$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(5, \infty)$ .

Crescente su $(5, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 5), (5, \infty)$

Passaggio 10