Calcolo Esempi

$\frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 1})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - {(x + 1)}^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ come ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3} + 0$

Passaggio 2.4.7.2

Somma $2 {(x + 1)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

Passaggio 2.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ come ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{3})}^{- 1})$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{3 \cdot - 1})$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 3})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f''' (x) = 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f''' (x) = 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f''' (x) = - 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = - 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = - 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = - 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f''' (x) = - 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f''' (x) = - 6 {(x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - 6 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ come ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = - 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f^{4} (x) = - 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$f^{4} (x) = 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 24 {(x + 1)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = 24 (\frac{1}{{(x + 1)}^{5}})$

Passaggio 4.4.2

$24$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$