Calcolo Esempi

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{2 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x^{2}}$ come ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.3

Sposta ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.4

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.23

Moltiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.24

Per scrivere ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26

Moltiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.27

Semplifica ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.29

Riordina i termini.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ e $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.4.6

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.10.3

Sposta ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.15

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.16.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.16.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.17.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.20

Moltiplica $- 2 x^{2} + 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.2

Moltiplica $- 2 x^{2} + 2$ per $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.4

Per scrivere $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7

Riscrivi $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.7.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.7.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.1.2

Scomponi $2 x$ da $2 (1 + x) (1 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.7.2.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.7.2.1.1

Sposta ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.7.2.2

Semplifica $- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.4

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.8.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.8.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.8.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.1.8.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.2

Somma $- x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.5.3

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.6

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.1.8.7

Somma $- 4$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

Passaggio 3.21.2.2

Moltiplica $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Passaggio 3.21.2.3

Moltiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.2.3.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 2$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Passaggio 3.21.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 3.21.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.21.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 3.21.2.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x^{2}}$ come ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.8.3

Sposta ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.8.4

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.23

Moltiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.1.24

Per scrivere ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26

Moltiplica ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.27

Semplifica ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 2$

Passaggio 6.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 6.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 6.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 6.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 6.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{{(- x^{2} + 2)}^{1}}}$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{- x^{2} + 2}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 x^{2} + 2}{\sqrt{- x^{2} + 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 2} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 2}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 2}$ come ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 2)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 2 = 0^{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 2$

Passaggio 7.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 7.3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 7.3.3.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 7.3.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 7.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 2}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 2 < 0$

Passaggio 7.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 2$

Passaggio 7.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} > 2$

Passaggio 7.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.5

Scrivi $| x | > \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 7.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 7.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 7.5.6

Trova l'intersezione di $x > \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 7.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 7.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 7.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.7.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.7.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$x < - \sqrt{2}$

Passaggio 7.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - \sqrt{2}$ o $x > \sqrt{2}$

Passaggio 7.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - \sqrt{2}, x \geq \sqrt{2}$

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{2}, x \geq \sqrt{2}$

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1, - \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 (1 - 3)}{1}$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{1}$

Passaggio 10.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4}{1}$

Passaggio 10.4.2

Dividi $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 11

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = (1) \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $\sqrt{2 - {(1)}^{2}}$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 12.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - 1}$

Passaggio 12.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Passaggio 12.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

Passaggio 14.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{4}{1}$

Passaggio 14.4.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 15

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = (- 1) \sqrt{2 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 16.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 16.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 16.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{2 - 1}$

Passaggio 16.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{1}$

Passaggio 16.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 16.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Passaggio 16.2.6

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(- 2 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 18.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 18.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0^{3}}$

Passaggio 18.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0}$

Passaggio 18.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 3)}{0}$

Passaggio 18.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 19

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 20