Calcolo Esempi

$y = x \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$1 + \ln (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 + \ln (x) = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 + \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x) = - 1$

Passaggio 6.3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $\ln (x) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 7.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 e$

Passaggio 10.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$e$

Passaggio 11

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi $\frac{1}{e}$ come $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Passaggio 12.2.2

Riscrivi $\ln (1 e^{- 1})$ come $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Passaggio 12.2.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Passaggio 12.2.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Passaggio 12.2.6

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Passaggio 12.2.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Passaggio 12.2.8

$\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Passaggio 12.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Passaggio 12.2.10

La risposta finale è $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ è un minimo locale

Passaggio 14