Calcolo Esempi

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 8 \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{8 \cos (lim_{x \to π} x) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{8 \cos (π) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{8 (- \cos (0)) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{8 (- 1 \cdot 1) + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.3.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(x - π)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to π} \frac{8 \cos (x) + 8}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x) + 8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 \cos (x) + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.5

Somma $- 8 \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Passaggio 3.6

Riscrivi ${(x - π)}^{2}$ come $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Passaggio 3.7

Espandi $(x - π) (x - π)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Passaggio 3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Passaggio 3.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- π (- π)$ .

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Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Passaggio 3.8.1.2.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Passaggio 3.8.1.2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Passaggio 3.8.1.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Passaggio 3.8.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $π x$ da $x (- π)$ .

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Passaggio 3.8.2.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Passaggio 3.8.2.2

Sottrai $π x$ da $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Passaggio 3.11

Poiché $- 2 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 π x$ rispetto a $x$ è $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Passaggio 3.14

Poiché $π^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Passaggio 3.15

Somma $2 x - 2 π$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 8 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2 x - 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $2$ da $- 8 \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 x - 2 π}$

Passaggio 4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) - 2 π}$

Passaggio 4.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x) + 2 (- π)}$

Passaggio 4.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to π} \frac{2 (- 4 \sin (x))}{2 (x - π)}$

Passaggio 4.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to π} \frac{- 4 \sin (x)}{x - π}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $- 4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 4 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$- 4 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Calcola il limite di $π$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$- 4 \frac{0}{lim_{x \to π} x - π}$

Passaggio 5.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$- 4 \frac{0}{π - π}$

Passaggio 5.1.3.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$- 4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 5.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- 4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- 4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{x - π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 5.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - π]}$

Passaggio 5.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 5.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Passaggio 5.3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1 + 0}$

Passaggio 5.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$- 4 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$- 4 lim_{x \to π} \cos (x)$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 4 \cos (lim_{x \to π} x)$

Passaggio 7

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$- 4 \cos (π)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 4 (- \cos (0))$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4$