Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{5} - x^{3} + 6 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 6 x}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 6 x}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 6$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x^{4}} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 6)}{x \cdot x^{3}} d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 6}{x^{3}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3} d x$

Passaggio 5

Espandi $(x^{4} - x^{2} + 6) x^{- 3}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.4

Sottrai $3$ da $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.6

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x - x^{2 - 3} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 5.8

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

Passaggio 10

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

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Passaggio 12.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 12.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Passaggio 12.3

Semplifica.

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Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 12.3.2

$- 6$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 12.3.3

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 12.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Passaggio 12.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 12.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Passaggio 12.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 6 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{3}{x^{2}} + C$