Calcolo Esempi

$x e^{\frac{y}{z}}$

Passaggio 1

Poiché $x$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $x e^{\frac{y}{z}}$ rispetto a $z$ è $x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$ .

$x \frac{d}{d z} [e^{\frac{y}{z}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = \frac{y}{z}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{y}{z}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{y}{z}$ .

$x (e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d z} [\frac{y}{z}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{y}{z}$ rispetto a $z$ è $y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}]$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}])$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{z}$ come $z^{- 1}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y \frac{d}{d z} [z^{- 1}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- z^{- 2}))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (y (- \frac{1}{z^{2}}))$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$y$ e $\frac{1}{z^{2}}$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (- \frac{y}{z^{2}})$

Passaggio 4.2.2

$x$ e $\frac{y}{z^{2}}$ .

$e^{\frac{y}{z}} (- \frac{x y}{z^{2}})$

Passaggio 4.2.3

$e^{\frac{y}{z}}$ e $\frac{x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} (x y)}{z^{2}}$

Passaggio 4.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $- \frac{e^{\frac{y}{z}} x y}{z^{2}}$ .

$- \frac{x y e^{\frac{y}{z}}}{z^{2}}$