Calcolo Esempi

$y = e^{3 x}$ ; $[0, 2]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$e^{3 x} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $e^{3 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.3

Non c'è soluzione per $e^{3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x$

Passaggio 3.3

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 3.3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u$

Passaggio 3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

Passaggio 3.7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Calcola $e^{u}$ per $6$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

Passaggio 3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 3.7.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.8.2

$\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.8.3

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 4