Calcolo Esempi

$\frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\ln (x)}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 - \ln (x) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (x) = - 1$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (x) = - 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Passaggio 3.3.3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\ln (x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'equazione come $x = e^{1}$ .

$x = e$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $e$ .

$e$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 5.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Passaggio 7

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, e)$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, e)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.35914085$ nell'espressione.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $1.35914085$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Passaggio 8.2.3

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $1.35914085$ è approssimativamente $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Passaggio 8.2.5

Sottrai $0.30685277$ da $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Passaggio 8.2.6

Dividi $0.69314722$ per $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $0.37522914$ .

$0.37522914$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1.35914085$ la derivata è $0.37522914$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, e)$ .

Crescente su $(0, e)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, e), (e, \infty)$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(e, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.7182817$ nell'espressione.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $3.7182817$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Passaggio 10.2.3

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $3.7182817$ è approssimativamente $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Passaggio 10.2.5

Sottrai $1.31326165$ da $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Passaggio 10.2.6

Dividi $- 0.31326165$ per $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Passaggio 10.2.7

La risposta finale è $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 3.7182817$ la derivata è $- 0.02265805$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(e, \infty)$ .

Decrescente su $(e, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, e)$

Decrescente su: $(e, \infty)$

Passaggio 12