Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{4} {(i^{2} + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(i^{2} + 1)}^{2}$ come $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ .

$(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$

Passaggio 1.2

Espandi $(i^{2} + 1) (i^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} (i^{2} + 1) + 1 (i^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 (i^{2} + 1)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$i^{2} i^{2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $i^{2}$ per $i^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$i^{2 + 2} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$i^{4} + i^{2} \cdot 1 + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$i^{4} + i^{2} + 1 i^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$i^{4} + i^{2} + i^{2} + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $i^{2}$ e $i^{2}$ .

$i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{4} i^{4} + 2 i^{2} + 1$

Passaggio 2

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Eleva $1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.2

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $2$ .

$3 + 1 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.5

Somma $3$ e $1$ .

$4 + 2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 2^{2} + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 + 16 + 2 \cdot 4 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 + 16 + 8 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.9

Somma $16$ e $8$ .

$4 + 24 + 1 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.10

Somma $24$ e $1$ .

$4 + 25 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.11

Somma $4$ e $25$ .

$29 + 3^{4} + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.12

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 3^{2} + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.13

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$29 + 81 + 2 \cdot 9 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.14

Moltiplica $2$ per $9$ .

$29 + 81 + 18 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.15

Somma $81$ e $18$ .

$29 + 99 + 1 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.16

Somma $99$ e $1$ .

$29 + 100 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.17

Somma $29$ e $100$ .

$129 + 4^{4} + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.18

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 4^{2} + 1$

Passaggio 3.19

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$129 + 256 + 2 \cdot 16 + 1$

Passaggio 3.20

Moltiplica $2$ per $16$ .

$129 + 256 + 32 + 1$

Passaggio 3.21

Somma $256$ e $32$ .

$129 + 288 + 1$

Passaggio 3.22

Somma $288$ e $1$ .

$129 + 289$

Passaggio 3.23

Somma $129$ e $289$ .

$418$