Calcolo Esempi

$y = - 3 x^{2} - x$ , $[5, 6]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- 3 x^{2} - x = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $- 3 x^{2} - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $- x$ da $- 3 x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $- x$ da $- 3 x^{2}$ .

$- x (3 x) - x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $- x$ da $- x$ .

$- x (3 x) - x \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $- x$ da $- x (3 x) - x (1)$ .

$- x (3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (3 x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{1}{3}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{5}^{6} 0 d x - \int_{5}^{6} - 3 x^{2} - x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $5$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{5}^{6} 0 - (- 3 x^{2} - x) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $- 3 x^{2} - x$ da $0$ .

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2} - x) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{5}^{6} - (- 3 x^{2}) + x d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} + x d x$

Passaggio 3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{5}^{6} 3 x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Passaggio 3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{5}^{6} x^{2} d x + \int_{5}^{6} x d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{5}^{6}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Passaggio 3.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $6$ e per $5$ .

$3 ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}$

Passaggio 3.10.2

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $6$ e per $5$ .

$3 (\frac{6^{3}}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$3 (\frac{216}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.2

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.2.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{72}{1} - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.2.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$3 (72 - \frac{5^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$3 (72 - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.4

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.5

$72$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{72 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{72 \cdot 3 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.7.1

Moltiplica $72$ per $3$ .

$3 \frac{216 - 125}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.7.2

Sottrai $125$ da $216$ .

$3 (\frac{91}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.8

$3$ e $\frac{91}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.9

Moltiplica $3$ per $91$ .

$\frac{273}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.10

Elimina il fattore comune di $273$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.10.1

Scomponi $3$ da $273$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 91}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 91}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{91}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.10.2.4

Dividi $91$ per $1$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.11

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$91 + \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.12

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$91 + \frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.13

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.13.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$91 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$91 + \frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.13.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.10.3.14

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$91 + 18 - \frac{1}{2} \cdot 25$

Passaggio 3.10.3.15

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$91 + 18 - 25 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.3.16

$- 25$ e $\frac{1}{2}$ .

$91 + 18 + \frac{- 25}{2}$

Passaggio 3.10.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$91 + 18 - \frac{25}{2}$

Passaggio 3.10.3.18

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$91 + 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Passaggio 3.10.3.19

$18$ e $\frac{2}{2}$ .

$91 + \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Passaggio 3.10.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$91 + \frac{18 \cdot 2 - 25}{2}$

Passaggio 3.10.3.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.21.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$91 + \frac{36 - 25}{2}$

Passaggio 3.10.3.21.2

Sottrai $25$ da $36$ .

$91 + \frac{11}{2}$

Passaggio 3.10.3.22

Per scrivere $91$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$91 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}$

Passaggio 3.10.3.23

$91$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}$

Passaggio 3.10.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{91 \cdot 2 + 11}{2}$

Passaggio 3.10.3.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.25.1

Moltiplica $91$ per $2$ .

$\frac{182 + 11}{2}$

Passaggio 3.10.3.25.2

Somma $182$ e $11$ .

$\frac{193}{2}$

Passaggio 4