Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x - 12$ ; $[2, 6]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$4 x - 12 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $4 x - 12 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 12$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 12$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{12}{4}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $12$ per $4$ .

$x = 3$

Passaggio 1.3

Sostituisci $3$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 4 x - 12 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $2$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{3} 0 - (4 x - 12) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 x - 12$ da $0$ .

$\int_{2}^{3} - (4 x - 12) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{2}^{3} - (4 x) + 12 d x$

Passaggio 3.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x - - 12$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$- 4 x + 12$

$\int_{2}^{3} - 4 x + 12 d x$

Passaggio 3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 12 d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 12 d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 12 d x$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 12 d x$

Passaggio 3.9

Applica la regola costante.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 12 x]_{2}^{3}$

Passaggio 3.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $2$ .

$- 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 12 x]_{2}^{3}$

Passaggio 3.10.2

Calcola $12 x$ per $3$ e per $2$ .

$- 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 2) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.5

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.6

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.8.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 \frac{9 - 4}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.8.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.9

$- 4$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.10

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{- 20}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.11

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.11.1

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 10}{1} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.11.2.4

Dividi $- 10$ per $1$ .

$- 10 + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.12

Moltiplica $12$ per $3$ .

$- 10 + 36 - 12 \cdot 2$

Passaggio 3.10.3.13

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 10 + 36 - 24$

Passaggio 3.10.3.14

Sottrai $24$ da $36$ .

$- 10 + 12$

Passaggio 3.10.3.15

Somma $- 10$ e $12$ .

$2$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 4 x - 12 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{3}^{6} 4 x - 12 - (0) d x$

Passaggio 5.2

Sottrai $0$ da $4 x - 12$ .

$\int_{3}^{6} 4 x - 12 d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{3}^{6} 4 x d x + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Passaggio 5.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Passaggio 5.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Passaggio 5.7

Applica la regola costante.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 12 x]_{3}^{6}$

Passaggio 5.8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $6$ e per $3$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 12 x]_{3}^{6}$

Passaggio 5.8.2

Calcola $- 12 x$ per $6$ e per $3$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$4 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$4 (18 - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.4

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.5

$18$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.7.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$4 \frac{36 - 9}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.7.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$4 (\frac{27}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.8

$4$ e $\frac{27}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 27}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.9

Moltiplica $4$ per $27$ .

$\frac{108}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.10

Elimina il fattore comune di $108$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.10.1

Scomponi $2$ da $108$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{54}{1} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.10.2.4

Dividi $54$ per $1$ .

$54 - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.11

Moltiplica $- 12$ per $6$ .

$54 - 72 + 12 \cdot 3$

Passaggio 5.8.3.12

Moltiplica $12$ per $3$ .

$54 - 72 + 36$

Passaggio 5.8.3.13

Somma $- 72$ e $36$ .

$54 - 36$

Passaggio 5.8.3.14

Sottrai $36$ da $54$ .

$18$

Passaggio 6

Somma $2$ e $18$ .

$20$

Passaggio 7