Calcolo Esempi

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Passaggio 1

La media quadratica di una funzione $f$ su un intervallo $[a, b]$ specificato è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori originali.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori effettivi nella formula della media quadratica di una funzione.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Passaggio 3

Calcola l'integrale.

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Passaggio 3.1

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 3.6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Passaggio 3.6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 3.6.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 3.7

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 3.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Passaggio 3.9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Passaggio 3.10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Calcola $x$ per $4$ e per $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Passaggio 3.10.2

Calcola $\sin (u)$ per $8$ e per $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Passaggio 3.10.3

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.1.1.1

Calcola $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Passaggio 3.11.1.1.2

Calcola $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Passaggio 3.11.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Passaggio 3.11.1.2

Sottrai $0.75680249$ da $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Passaggio 3.11.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

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Passaggio 3.11.1.3.1

Moltiplica $0.23255575$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 3.11.1.3.2

$- 0.23255575$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Passaggio 3.11.1.4

Dividi $- 0.23255575$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Passaggio 3.11.2

Sottrai $0.11627787$ da $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Passaggio 3.11.3

$\frac{1}{2}$ e $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Passaggio 3.11.4

Dividi $5.88372212$ per $2$ .

$2.94186106$

Passaggio 4

Semplifica la formula della media quadratica.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{4 + 2}$ e $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.1

Somma $4$ e $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $2.94186106$ per $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Forma decimale:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$