Calcolo Esempi

$y = x^{4}$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

La media quadratica di una funzione $f$ su un intervallo $[a, b]$ specificato è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori originali.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori effettivi nella formula della media quadratica di una funzione.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(x^{4})}^{2} d x)}$

Passaggio 3

Calcola l'integrale.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4 \cdot 2} d x$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{8} d x$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9}]_{- 1}^{1}$

Passaggio 3.3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Calcola $\frac{1}{9} x^{9}$ per $1$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{9} \cdot 1^{9}) - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{9} \cdot 1 - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} {(- 1)}^{9}$

Passaggio 3.3.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $9$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{9})$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 3.3.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 1}{9}$

Passaggio 3.3.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{9}$

Passaggio 4

Semplifica la formula della media quadratica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + 1}$ per $\frac{2}{9}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{(1 + 1) \cdot 9}}$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Passaggio 4.3

Riduci l'espressione $\frac{2}{2 \cdot 9}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 9}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9}}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{9}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{9}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f_{rms} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5