Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t]$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ tende a $0$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ per $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ per $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.2

Eleva $\sqrt{t}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.3

Eleva $\sqrt{t}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{t}}^{2}$ come $t$ .

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Passaggio 2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.4.6.5

Semplifica.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ per $0$ .

$\frac{d}{d x} [0]$