Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 1.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Passaggio 1.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.5

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.2.5

$4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.4

Moltiplica $81$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.4.2

Sottrai $16 x^{6}$ da $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Passaggio 2.3.1.1.3

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Passaggio 2.3.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.3.1.5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Passaggio 2.3.1.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.3.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.3.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.4

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Risolvi $x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 2.3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.3.4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.3.4.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 2.3.4.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 2.3.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 2.3.4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 2.3.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 2.3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.3.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ è $(0, \ln (27))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, \ln (27))$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $81$ e $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ è $(- 3, \ln (108))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, \ln (108))$

Passaggio 3.5

Sostituisci $3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $81$ e $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Passaggio 3.5.2.3

La risposta finale è $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ è $(3, \ln (108))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(3, \ln (108))$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $324$ per $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $- 3550.014724$ e $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $92.3521$ e $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $119.3521$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $- 436.374724$ per $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Passaggio 5.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 0.0306337$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Riscrivi $- 1 (\frac{729}{16})$ come $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.13.1

Scomponi $4$ da $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.14

Moltiplica $81$ per $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.15

Per scrivere $729$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.16

$729$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.18.1

Moltiplica $729$ per $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.18.2

Somma $- 729$ e $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.6

Per scrivere $27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.7

$27$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.9.1

Moltiplica $27$ per $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.9.2

Somma $81$ e $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Passaggio 6.2.2.11

Eleva $513$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Passaggio 6.2.2.12

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Scomponi $729$ da $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Passaggio 6.2.4.2

Scomponi $729$ da $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Passaggio 6.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Passaggio 6.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Passaggio 6.2.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Scomponi $16$ da $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Passaggio 6.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Passaggio 6.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Passaggio 6.2.6

$15$ e $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $15$ per $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Passaggio 6.2.8

La risposta finale è $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- \frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $0.66481994$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{729}{16})$ come $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $81$ per $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.11

Per scrivere $729$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.12

$729$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Moltiplica $729$ per $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.14.2

Somma $- 729$ e $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Per scrivere $27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

$27$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.7.1

Moltiplica $27$ per $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7.2

Somma $81$ e $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Passaggio 7.2.2.9

Eleva $513$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Passaggio 7.2.2.10

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $729$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Scomponi $729$ da $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Passaggio 7.2.4.2

Scomponi $729$ da $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Passaggio 7.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Passaggio 7.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Passaggio 7.2.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

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Passaggio 7.2.5.1

Scomponi $16$ da $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Passaggio 7.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Passaggio 7.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Passaggio 7.2.6

$15$ e $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $15$ per $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Passaggio 7.2.8

La risposta finale è $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $\frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $0.66481994$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 3)$ .

Crescente su $(0, 3)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.1$ nell'espressione.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3.1$ alla potenza di $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $324$ per $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Somma $- 3550.014724$ e $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.2.2.1

Eleva $3.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $92.3521$ e $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $119.3521$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 436.374724$ per $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Passaggio 8.3

Per $3.1$ , la derivata seconda è $- 0.0306337$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(3, \infty)$ .

Decrescente su $(3, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Passaggio 10