Calcolo Esempi

$\frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{9}{\sqrt{x}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$9 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$9 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 9 \sqrt{x} d x$

Passaggio 8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 9

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$18 x^{\frac{1}{2}} + 9 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + 9 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.2.2

$9$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{18 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.2.4

Scomponi $3$ da $18 x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 11.2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.2.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Passaggio 11.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (6 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Passaggio 11.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$18 x^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Passaggio 11.2.5.4

Dividi $6 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$18 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}} + 9 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $18 x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} + C$