Calcolo Esempi

$36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Passaggio 1

Scrivi $36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ come funzione.

$f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 36 e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 5

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$36 \int e^{- 4 x} d x + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Allora $d u_{1} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$36 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$36 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 7.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$36 \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$36 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$- 36 \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 36 (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{4}$ e $- 36$ .

$\frac{- 36}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scomponi $4$ da $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 9}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 11.2.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$- 9 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \int 24 e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 13

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , sposta $24$ fuori dall'integrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{- 2 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 14

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 14.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 15.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + 24 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int 4 d x$

Passaggio 17

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 18

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 24 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

$\frac{1}{2}$ e $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 24}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 19.2

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 19.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 19.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 19.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 12}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 19.2.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 20

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Passaggio 21

Applica la regola costante.

$- 9 (e^{u_{1}} + C) - 12 (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Passaggio 22

Semplifica.

$- 9 e^{u_{1}} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Passaggio 23

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 4 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{u_{2}} + 4 x + C$

Passaggio 23.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$

Passaggio 24

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 36 e^{- 4 x} + 24 e^{- 2 x} + 4$ .

$F (x) =$ $- 9 e^{- 4 x} - 12 e^{- 2 x} + 4 x + C$