Calcolo Esempi

$3^{x + 1} d x$

Passaggio 1

Scrivi $3^{x + 1} d x$ come funzione.

$f (x) = 3^{x + 1} d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 3^{x + 1} d x d x$

Passaggio 4

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int 3^{x + 1} x d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = 3^{x + 1}$ .

$d (x (\frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1}) - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ e $3^{x + 1}$ .

$d (x \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{3^{x + 1}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x + 1} d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{\ln (3)}$ e $3^{x + 1}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \int \frac{3^{x + 1}}{\ln (3)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{\ln (3)}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{\ln (3)}$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{x + 1} d x))$

Passaggio 8

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $3^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ come $d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Per scrivere $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3)}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\ln^{2} (3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $\frac{x \cdot 3^{x + 1}}{\ln (3)}$ per $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.2.2

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{{\ln (3)}^{1 + 1}} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$d (\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3)}{\ln^{2} (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)}) + C$

Passaggio 10.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$d \frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Passaggio 10.2.4

$d$ e $\frac{x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u}}{\ln^{2} (3)}$ .

$\frac{d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{u})}{\ln^{2} (3)} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 3^{x + 1} d x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\ln^{2} (3)} d (x \cdot 3^{x + 1} \ln (3) - 3^{x + 1}) + C$