Calcolo Esempi

$- \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{1}{e^{x}}$ come funzione.

$f (x) = - \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- \int e^{- x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \int - e^{u} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- - \int e^{u} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$\int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = - \frac{1}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $e^{- x} + C$