Calcolo Esempi

$\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{27}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{27}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{27} \int {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 x^{2} + 6)}^{3}} d x$

Passaggio 6

Sia $x = \frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ è positivo.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica $\sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6}}{3} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ e $\tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 {(\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6} \tan (t)}{3}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6^{1} \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{3^{2}} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(9 \frac{6 \tan^{2} (t)}{9} + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6^{1})}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \tan^{2} (t) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $6$ da $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $6$ da $6 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6)}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.2.2

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.2.3

Scomponi $6$ da $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 (\tan^{2} (t) + 1))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.4

Applica la regola del prodotto a $6 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{3} {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {(\sec^{2} (t))}^{3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 {\sec (t)}^{2 \cdot 3}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{216 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi $216 \sec^{6} (t)$ come ${(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.7.1

Scomponi $36$ da $216$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{36 (6) \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.7.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 \sec^{6} (t)} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.7.3

Riscrivi $\sec^{6} (t)$ come ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} \cdot 6 {(\sec^{3} (t))}^{2}} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.7.4

Sposta $6$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.7.5

Riscrivi $6^{2} {(\sec^{3} (t))}^{2}$ come ${(6 \sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \sqrt{{(6 \sec^{3} (t))}^{2} \cdot 6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{27} \int 6 \sec^{3} (t) \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t)}{3}$ e $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3} \sec^{3} (t) \sqrt{6} d t$

Passaggio 7.2.2

$\frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6}{3}$ e $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{2} (t) \cdot 6 \sec^{3} (t)}{3} \sqrt{6} d t$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec^{3} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Sposta $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} (\sec^{3} (t) \sec^{2} (t)) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Passaggio 7.2.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} {\sec (t)}^{3 + 2} \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Passaggio 7.2.3.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} \sqrt{6} d t$

Passaggio 7.2.4

$\frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6}{3}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sqrt{6} \sec^{5} (t) \cdot 6 \sqrt{6}}{3} d t$

Passaggio 7.2.5

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}{3} d t$

Passaggio 7.2.6

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}{3} d t$

Passaggio 7.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3} d t$

Passaggio 7.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{\sec^{5} (t) \cdot 6 {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Passaggio 7.2.9

Sposta $6$ alla sinistra di $\sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \cdot \sec^{5} (t) {\sqrt{6}}^{2}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6^{1}}{3} d t$

Passaggio 7.2.10.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{27} \int \frac{6 \sec^{5} (t) \cdot 6}{3} d t$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{36 \sec^{5} (t)}{3} d t$

Passaggio 7.2.12

Elimina il fattore comune di $36$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.1

Scomponi $3$ da $36 \sec^{5} (t)$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3} d t$

Passaggio 7.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 (1)} d t$

Passaggio 7.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{27} \int \frac{3 (12 \sec^{5} (t))}{3 \cdot 1} d t$

Passaggio 7.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{27} \int \frac{12 \sec^{5} (t)}{1} d t$

Passaggio 7.2.12.2.4

Dividi $12 \sec^{5} (t)$ per $1$ .

$\frac{1}{27} \int 12 \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 8

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{27} (12 \int \sec^{5} (t) d t)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$12$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{12}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 (4)}{27} \int \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 9} \int \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9} \int \sec^{5} (t) d t$

Passaggio 10

Applica la formula di riduzione.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 11

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 12

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t))$

Passaggio 13

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 14

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Passaggio 16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 16.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t))$

Passaggio 17

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t))$

Passaggio 18

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t))$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Passaggio 18.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t))$

Passaggio 19

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 20

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 21

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t))$

Passaggio 22

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t))$

Passaggio 23

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t))$

Passaggio 24

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t))$

Passaggio 25

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 26

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Passaggio 27

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Passaggio 28

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)))$

Passaggio 29

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 29.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 30

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C))$

Passaggio 31

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C))$

Passaggio 32

Semplifica.

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Passaggio 33

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.1

Per scrivere $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Passaggio 33.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.2.1

Moltiplica $\frac{\tan (t) \sec^{3} (t)}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Passaggio 33.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{4}{9} (\frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}) + C$

Passaggio 33.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{\tan (t) \sec^{3} (t) \cdot 2 + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Passaggio 33.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (t) \sec^{3} (t)$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot (\tan (t) \sec^{3} (t)) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Passaggio 33.5

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8}$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{9 \cdot 8} + C$

Passaggio 33.6

Moltiplica $9$ per $8$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{72} + C$

Passaggio 33.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 33.7.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Passaggio 33.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{4 \cdot 18} + C$

Passaggio 33.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \tan (t) \sec^{3} (t) + 3 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{18} + C$

Passaggio 34

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})$ .

$\frac{2 \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \sec^{3} (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{3 x}{\sqrt{6}})) |))}{18} + C$

Passaggio 35

Riordina i termini.

$\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$

Passaggio 36

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} (2 \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \sec^{3} (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + 3 (\sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{3}{\sqrt{6}} x)) |))) + C$