Calcolo Esempi

$\sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 7

Moltiplica $u^{3} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{3} \cdot 1 + u^{3} (- u^{2}) d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} (- u^{2}) d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{3}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Sposta $u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} \cdot - 1 d u$

Passaggio 8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} \cdot - 1 d u$

Passaggio 8.2.3

Somma $2$ e $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} \cdot - 1 d u$

Passaggio 8.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot u^{5} d u$

Passaggio 8.4

Riscrivi $- 1 u^{5}$ come $- u^{5}$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{3} d u + \int - u^{5} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - u^{5} d u$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - \int u^{5} d u$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \sin^{4} (x) - \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sin^{4} (x) - \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + C$