Calcolo Esempi

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ come funzione.

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = - x^{3} + 3 x$ e $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = - 3 x^{2} + 3$ e $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

Passaggio 8

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

Passaggio 9

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Passaggio 12.2

Sottrai $6 x e^{x}$ da $3 x e^{x}$ .

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ .

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$