Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Espandi $(x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} + 4 x) x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.5

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.7.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.7.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{1 - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.10

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.12

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.13

Riordina $x^{\frac{3}{2}}$ e $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 12

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 13

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.2.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15.2.2

Riordina i termini.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$