Calcolo Esempi

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

$\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\int \sec^{2} (u) d u$ per $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 10

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 12

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 12.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 12.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

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Passaggio 14.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$