Calcolo Esempi

$(x - 4) \sqrt{x + 4}$

Passaggio 1

Scrivi $(x - 4) \sqrt{x + 4}$ come funzione.

$f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (x - 4) \sqrt{x + 4} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x - 4$ e $d v = \sqrt{x + 4}$ .

$(x - 4) (\frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $(x - 4) \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ come $\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.3

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$\frac{x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(x + 4)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (x - 4) \sqrt{x + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (x (2 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - 8 {(x + 4)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(x + 4)}^{\frac{5}{2}} + C$