Calcolo Esempi

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ come funzione.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 6

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , sposta $48$ fuori dall'integrale.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Passaggio 7

Moltiplica $48$ per $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 8

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.5

Elimina il fattore comune di $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.6

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7.1.2

Dividi $(A) \cdot (2^{2})$ per $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.4.1

Scomponi $x + 1$ da $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Passaggio 8.1.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 8.1.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 8.1.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Passaggio 8.1.7.4.2.4

Dividi $B (2^{2} (x + 1))$ per $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Passaggio 8.1.7.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Passaggio 8.1.7.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Passaggio 8.1.7.7

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Passaggio 8.1.7.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Passaggio 8.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.8.1

Sposta $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Passaggio 8.1.8.2

Riordina $4 A$ e $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Passaggio 8.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 4 B$

Passaggio 8.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 0$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3.1.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = 4 A + 4 B$ con $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Passaggio 8.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Semplifica $4 A + 4 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Passaggio 8.3.2.2.1.2

Somma $4 A$ e $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Passaggio 8.3.3

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Passaggio 8.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 8.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 8.3.3.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 8.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Passaggio 8.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Passaggio 8.5.2

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Passaggio 8.5.4

Dividi $0$ per $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Passaggio 8.5.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{4}$ e $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $4$ da $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 10.2.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Passaggio 11

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Passaggio 12

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Passaggio 12.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Passaggio 15.2.2

$12$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Passaggio 16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$