Calcolo Esempi

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ come $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $\sec (x) \sec (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori di $\tan (x) \sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.3

Somma $\sec (x) \tan (x)$ e $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 8

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 12

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Somma $\tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$