Calcolo Esempi

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ come funzione.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 1 - 2 x$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $- 2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ per $1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Passaggio 11.2

Riscrivi $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ come $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Per scrivere $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.3.2.1

Moltiplica $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.5

Somma $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ e $8 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.6

Scomponi $3$ da $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

Passaggio 11.3.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.7.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

Passaggio 11.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Passaggio 11.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.4.3

Moltiplica $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 11.4.3.2

$- 3$ e $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Passaggio 11.4.3.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 11.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$