Calcolo Esempi

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ come funzione.

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 7

Moltiplica $u^{9} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $u^{9}$ per $1$ .

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{9}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Passaggio 8.2.2

Somma $9$ e $2$ .

$\int u^{9} + u^{11} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{9}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{11}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$