Calcolo Esempi

${(6 x + 5)}^{2} d x$

Passaggio 1

Scrivi ${(6 x + 5)}^{2} d x$ come funzione.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x d x$

Passaggio 4

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int {(6 x + 5)}^{2} x d x$

Passaggio 5

Sia $u = 6 x + 5$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 6 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$d \int u^{2} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) \frac{1}{6} d u$

Passaggio 6

$\frac{1}{6}$ e $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} (\frac{u}{6} - \frac{5}{6}) d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} + \frac{u^{2}}{6} (- \frac{5}{6}) d u$

Passaggio 7.2

Riordina $\frac{u^{2}}{6}$ e $- 1$ .

$d \int \frac{u^{2}}{6} \cdot \frac{u}{6} - 1 \cdot \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{u^{2}}{6}$ per $\frac{u}{6}$ .

$d \int \frac{u^{2} u}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$d \int \frac{u^{2} u^{1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int \frac{u^{2 + 1}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.6

Somma $2$ e $1$ .

$d \int \frac{u^{3}}{6 \cdot 6} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.7

Moltiplica $6$ per $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - 1 \frac{u^{2}}{6} \frac{5}{6} d u$

Passaggio 7.8

$- 1 \frac{u^{2}}{6}$ e $\frac{5}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2}}{6} \cdot 5}{6} d u$

Passaggio 7.9

$\frac{u^{2}}{6}$ e $5$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{u^{2} \cdot 5}{6}}{6} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- 1 \frac{5 \cdot u^{2}}{6}}{6} d u$

Passaggio 8.2

Riscrivi $- 1 \frac{5 u^{2}}{6}$ come $- \frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} + \frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6} d u$

Passaggio 8.3

Riscrivi $\frac{- \frac{5 u^{2}}{6}}{6}$ come un prodotto.

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{5 u^{2}}{6}$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{6 \cdot 6} d u$

Passaggio 8.5

Moltiplica $6$ per $6$ .

$d \int \frac{u^{3}}{36} - \frac{5 u^{2}}{36} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$d (\int \frac{u^{3}}{36} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{36}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{36}$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{1}{36} \int u^{3} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Passaggio 12

$\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{36} d u)$

Passaggio 14

Poiché $\frac{5}{36}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{36}$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{5}{36} \int u^{2} d u))$

Passaggio 15

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$d (\frac{1}{36} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{5}{36} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Passaggio 16.2

Semplifica.

$d (\frac{u^{4}}{144} - \frac{5 u^{3}}{108}) + C$

Passaggio 17

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x + 5$ .

$d (\frac{{(6 x + 5)}^{4}}{144} - \frac{5 {(6 x + 5)}^{3}}{108}) + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(6 x + 5)}^{2} d x$ .

$F (x) =$ $d (\frac{1}{144} {(6 x + 5)}^{4} - \frac{5}{108} {(6 x + 5)}^{3}) + C$