Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.1.2.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.1.2.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 5

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 6.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Passaggio 7.6

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Passaggio 7.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 7.7.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Passaggio 7.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Passaggio 7.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Passaggio 7.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Passaggio 7.7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Passaggio 7.8

Riordina $x^{- \frac{3}{2}}$ e $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 12.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$