Calcolo Esempi

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 5}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

Passaggio 6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

Passaggio 6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Passaggio 10

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 10.1

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 10.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ come $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{4}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

Passaggio 12.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$