Calcolo Esempi

$\sqrt{4 x^{2} + 5}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{4 x^{2} + 5}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{4 x^{2} + 5} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{5} \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $5$ da $5 \tan^{2} (t) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi $5$ da $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{5 \sec^{2} (t)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.4

Riordina $5$ e $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\int \sec (t) \sqrt{5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t) \sec (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sqrt{5} (\sec^{1} (t) \sec^{2} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Passaggio 5.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{\sqrt{5} {\sec (t)}^{1 + 2}}{2} \sqrt{5} d t$

Passaggio 5.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Passaggio 5.2.5

$\frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2}$ e $\sqrt{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Passaggio 5.2.6

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.7

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{5^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 5.2.10.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{5 \sec^{3} (t)}{2} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{5}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 10

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 12.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 13

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 14

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 14.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 15

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 19

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 20

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 21

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 22

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 23

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 24

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 25

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 25.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 26

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 27

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 28

Semplifica.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{5}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 30

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{5}{4} (\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ . Perciò, $\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}}))$ è $\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{1}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ come $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.8

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.9

Combina.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} (2 x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.10.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.10.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.11.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.12

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \cdot \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.1

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.2

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.3.1

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.4.3

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{1}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.5.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.7

Elimina il fattore comune di $20$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.7.1

Scomponi $5$ da $20 x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.7.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 (5)}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 \cdot 5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ come $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.11

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.12.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.12.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.12.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.12.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Passaggio 31.1.13.14

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.15

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.16.1

Moltiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.16.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.13.16.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}} |)) + C$

Passaggio 31.1.13.16.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Passaggio 31.1.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Passaggio 31.1.15

Riordina i fattori in $\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Passaggio 31.1.16

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.2

Per scrivere $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 31.3

$\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5}) + C$

Passaggio 31.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5} + C$

Passaggio 31.5

Sposta $5$ alla sinistra di $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Passaggio 31.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Passaggio 31.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.8.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.9

$\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.10

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Passaggio 31.11

Moltiplica $\frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.11.1

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5}{4} \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) + C$

Passaggio 31.11.2

$\frac{5}{4}$ e $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 31.12

Per scrivere $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 31.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.13.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 31.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 31.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 31.15

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Passaggio 32

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$

Passaggio 33

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$